失業手当を受けたいと思っています。

失業手当を受けたいと思っています。4月の半ばで結婚・引越しのため会社を退職しました。入籍は６月の予定ですが、４月末に引越しをする予定です。離職票がまだ手元に届いていないので、引越し先のハローワークで
手続きをすることになると思うのですが、その際、最初の時点で新しい引越し先へ住民票を移していなければ手続きは出来ないのでしょうか？また、身分証となる運転免許も住所変更されていないといけないのでしょうか？

原則は住所を管轄するハローワークで手続きをしますから引越しの時に住所変更をしたほうがいいですね。
なにか出来ない理由でもおありですか？簡単な手続きですが。どうしても出来ないのなら奥の手はあります。
免許証の住所は関係ありません。必要となる場合はあなたを本人かどうか確認する場合のみです。

ハローワークの求人で
医療事務、経験不問と記載されてますが、本当に不問でもつとまりますか？

それは、その募集側の教育面の充実度と、働く人物の努力次第に関わって来ますね。特に働く人間の努力に大きなウェイトが関わって来ますよ。つまり、努力次第と言う事です。

精神疾患（おもに体調不良）がたまにある場合、ハローワークでバイトの相談にのってもらえたり支援制度はあるものでしょうか？
（障碍者手帳をもっているほどのレベルではありません。）

2年ほど不眠があり、精神科で睡眠薬をもらっています。
ものすごく体調不良が辛かった時期に一緒に抗鬱剤ものんでましたが、いまはもう飲んでません。

今現状も、睡眠薬をのんでおり、たまに体調不良（吐き気、胃もたれ）があったりします。
精神的な落ち込みはなく、家で家事だけやっている現状から少しでも抜け出したいとか（専業主婦です、子供なし）、バイトをしたとしても体調不良にみまわれないか？という心配だけはあります。

単発派遣も登録しましたが、朝早いのが辛かったり、昼からでも長距離だったりと、何だか1歩ふみだせません。

ハローワークに直接きいてみてもいいのですが、何かご存じの方や、同じような経験が
あるかたなど、教えていただければうれしいです。

よろしくお願いします。

こんにちは。
私はとある会社で事務、電話対応をしているのですが、先日ハローワークで求人を出した際に、精神の障害手帳を持っている人からの応募がありましたので、相談には乗ってくれるのだと思いますよ。
ハローワークから応募の連絡があるときは相談員の方から直接電話があるのですが、その人も熱心に、今までの仕事ぶりや医師の診断書を出しますからというアピールをしていました。
良い相談員に巡り会えれば、一緒になって職を探してくれるんじゃないでしょうか。