ハローワーク失業手当てについて質問です。
昨年３月～１０月半ばまで派遣就業、自己都合で退職、１０月半ば～間をあけずにこの３月末まで期間限定の派遣就業中。

３月末の契約が切れたら失業手当てはもらえないのでしょうか…？

直前の２４か月中、１２か月間 雇用保険に加入していることが条件のひとつです。
半年ごとに切られているのであれば、無理でしょう。

現在仕事はしていますが転職を考えています。
ハローワークのHPみています。いい仕事があるのですが『求職者に限定』となっています。
今仕事はしているのでハローワークには登録していません。
となると、いまの仕事を辞めて登録すれば応募できるのでしょうか？

求職者とは、仕事を探している人なので
辞めてなくてもＯＫです。
その画面を知らないのですが、求人№を入力しなくてはいけないのなら、
登録の必要があるかもしれません。
その際にもまだ退職していなくても良いですよ。

失業保険を受給中のアルバイト・パートについて
週20時間を超えると分かっているアルバイトやパートが
失業保険受給中に採用された場合について教えてください。

週20時間以上なので「就職が決まった」と見なされると思うのですが、
アルバイトやパートだとしても就職日の前日に来所が必要になりますか？
退職理由が解雇にあたるのですが、前回認定日から就職日前日までが受給できて、
その後は何も支給されないのでしょうか？

詳しい方、教えてください。

その通りです。
週２０時間以上は"就業"とみなされるため、対象の就業前日までにハローワーク手続きは必須です。
就業したのですから、それ以降の失業保険受給は残念ながらありません。

関連する情報